불 대수

Boolean algebra. 명제의 참과 거짓을 논하는 논리(Logic)를 대수로 옮긴 것.

논리 구조를 대수적으로 나타내기 위해 몇 가지의 기호를 도입한다.

모든 명제를 $x$와 같이 기호로 나타낸다. 예를 들어서, “박서진은 사람이다” 라고 하는 명제를 $a$, “박서진은 남자다”라고 하는 명제를 $b$처럼 나타낼 수 있다.

두 개 명제가 모두 참이어야 성립하는 AND 연산을 이어쓰기로 나타낸다. 예를 들어서 “박서진은 사람이다. 그리고 박서진은 남자다.”와 같은 명제는 $ab$ 로 나타낸다.

모든 명제는 자기 자신과 AND 연산으로 연결되면 자기 자신이 된다. 예를 들어 “박서진은 사람이다. 그리고 박서진은 사람이다.” 는 “박서진은 사람이다.”와 참값이 같다. 이를 기호로 나타내면 $aa=a$ 이다. 임의의 명제에 대해서 성립하는 법칙이므로, $xx=x$ 라고도 나타낼 수 있다. $xx=x$ 라고 하는 식을 명제로 보지 않고 단순한 식으로 살펴본다. $x$가 실수라면, 이 방정식을 만족시키는 $x$의 값은 뭘까? $x=0$ 또는 $1$ 밖에 될 수 없다. 논리에서 값이 참과 거짓밖에 있을 수 없다는 배중률의 법칙과 일치한다. $0$ 을 거짓, $1$ 을 참이라고 생각한다면, 많은 논리법칙들이 식으로 표현되어도 똑같은 의미를 가지게 된다는 것을 볼 수 있다. 예를 들어서 어떤 명제도 거짓과 AND 연산으로 연결하면 거짓이 된다. 이것을 식으로 나타내면 $0x=0$ 이다. 또한 어떤 명제도 참과 AND 연산으로 연결하면 자기 자신이 된다. 식으로 나타내면 $1x=x$ .

이렇게 논리 구조를 식으로 바꾸어 생각함으로써, 기존의 논리식을 더 잘 이해하거나, 새로운 발견들을 이끌어내는 것이 불 대수이다.